國二數學｜多項式除法與根號估算：被除式公式、餘式求未知數、√7 夾在哪裡

這堂課是暑假的總複習，從乘法公式、多項式的除法，一路銜接到下一個單元「平方根」。兩個單元看似無關，但核心技巧其實一樣：把題目改寫成你會算的形式。

一、乘法公式：看到平方和減兩倍乘積，就想到差的平方

(a − b)² ＝ a² − 2ab ＋ b²

例題：已知 m − n ＝ 3，求 (m² ＋ n²)⁄2 − mn。

1. 先通分：(m² ＋ n²)⁄2 − 2mn⁄2 ＝ (m² − 2mn ＋ n²)⁄2
2. 分子正好是 (m − n)²
3. 代入：3² ÷ 2 ＝ 9⁄2

小提醒：題目如果給的是 n − m ＝ −3，也一樣。因為 (n − m)² ＝ (m − n)²，平方後正負號會消失。

二、多項式的次數：相乘看相加，相加看最大

例題：A、B 都是 x 的多項式，A × B 是 5 次多項式。A ＋ B 可能是幾次？

相乘時，次數會相加。所以 A、B 的次數組合只有：

相加時，次數由比較高的那個決定（兩者次數不同，最高次項不會被消掉）。所以 A ＋ B 只可能是 3、4、5 次。

常見錯誤：以為 1 次乘 5 次是 5 次。其實是 1 ＋ 5 ＝ 6 次。

三、多項式除法：一條公式走天下

被除式 ＝ 除式 × 商式 ＋ 餘式

而且餘式的次數一定小於除式的次數。

長除法的目標：每一步都讓最高次項變成 0

做直式除法時，每一步都在問：「商要放什麼，才能把最高次項消掉？」

例題：(9x² − 18x ＋ 8) ÷ (3x − 4)

1. 要消掉 9x²：3x × 3x ＝ 9x²，減掉 3x × (3x − 4) ＝ 9x² − 12x，剩 −6x ＋ 8
2. 要消掉 −6x：3x × (−2) ＝ −6x，減掉 −2 × (3x − 4) ＝ −6x ＋ 8，剩 0

商式是 3x − 2，餘式是 0。這也可以包裝成應用題：長方形面積 9x² − 18x ＋ 8，長是 3x − 4，寬就是 3x − 2。

反推題：已知商和餘，求被除式

例題：多項式 A 除以 (x − 3)，商式 3x − 2，餘式 5，求 A。

直接套公式：

A ＝ (x − 3)(3x − 2) ＋ 5 ＝ 3x² − 2x − 9x ＋ 6 ＋ 5 ＝ 3x² − 11x ＋ 11

展開時記得：x² 歸 x² 算、x 歸 x 算、常數歸常數算，同類項才能合併。

已知餘式，求未知係數

例題：3x² − 7x − a 除以 (x − 2)，餘式是 −8，求 a。

照長除法做：

1. 消掉 3x²：商 3x，減掉 3x² − 6x，剩 −x − a
2. 消掉 −x：商 −1，減掉 −x ＋ 2，剩 −a − 2

餘式 −a − 2 ＝ −8，所以 a ＝ 6。

商式的次數

被除式是 m 次、除式是 n 次（m ＞ n）時，商式是 m − n 次。例如 2 次式除以 1 次式，商是 1 次式、餘式是常數（0 次）。

四、平方根：先背好這張平方表

估算根號時，平方數是你的「尺」。以下這些要熟到反射：

個位數是 5 的平方：速算法

(十位數) × (十位數 ＋ 1)，後面接 25

• 25² → 2 × 3 ＝ 6，接 25 → 625
• 35² → 3 × 4 ＝ 12，接 25 → 1225
• 45² → 4 × 5 ＝ 20，接 25 → 2025

小數一樣能用，最後再點回小數點：

• 2.5² → 2 × 3 ＝ 6，接 25 → 6.25
• 6.5² → 6 × 7 ＝ 42，接 25 → 42.25
• 7.5² → 7 × 8 ＝ 56，接 25 → 56.25

五、根號估算：兩邊同時平方

例題：√7 大約是多少？

1. 找夾住 7 的平方數：4 ＜ 7 ＜ 9，所以 2 ＜ √7 ＜ 3。
2. 再細一點：2.5² ＝ 6.25 ＜ 7，所以 √7 ＞ 2.5。
3. 試 2.6：2.6² ＝ 6.76 ＜ 7；試 2.7：2.7² ＝ 7.29 ＞ 7。
4. 所以 2.6 ＜ √7 ＜ 2.7（實際約 2.6458）。

選擇題的做法：選項給 2.64 和 2.8，就把它們平方：2.64² ＝ 6.9696 ＜ 7，2.8² ＝ 7.84 ＞ 7，√7 就夾在兩者之間。

例題：√45 在哪兩個數之間？

6.5² ＝ 42.25，7² ＝ 49。因為 42.25 ＜ 45 ＜ 49，所以 6.5 ＜ √45 ＜ 7。

這就是為什麼個位數 5 的平方速算很重要——它幫你把範圍切成一半。

例題：根號不等式

滿足 7 ＜ 2√x ＜ 9 的整數 x 有幾個？

1. 三邊同時平方：49 ＜ 4x ＜ 81
2. 同除以 4：12.25 ＜ x ＜ 20.25
3. 整數 x ＝ 13、14、…、20，共 8 個

兩邊同時平方的前提是兩邊都是正數，這題三邊都是正的，所以可以直接平方。

例題：比大小

比較 3 ＋ √5、3 ＋ √6、√5 ＋ √6 的大小。

把 3 寫成 √9，就能一對一比較：

• 3 ＋ √6 和 3 ＋ √5：都有 3，√6 ＞ √5，所以 3 ＋ √6 較大。
• 3 ＋ √5 和 √5 ＋ √6：都有 √5，3 ＝ √9 ＞ √6，所以 3 ＋ √5 較大。

3 ＋ √6 ＞ 3 ＋ √5 ＞ √5 ＋ √6

找「相同的部分」先抵消，再比剩下的，比硬算小數快很多。

六、根號與絕對值

(√a)² 和 √(a²) 不一樣

因為 a² 一定 ≥ 0，開根號的結果也一定 ≥ 0，但 a 本身可能是負的。所以：

• a ≥ 0 時，√(a²) ＝ a
• a ＜ 0 時，√(a²) ＝ −a

例子：√((−7)²) ＝ √49 ＝ 7，不是 −7。

絕對值裡面是負的，就變號

|3.13 − π| ＝ ?

π ≈ 3.1416，比 3.13 大，所以 3.13 − π 是負數。絕對值要讓它變正：

|3.13 − π| ＝ π − 3.13

判斷方法：大減小直接拿出來，小減大就前後對調。

重點整理

1. 看到 a² ＋ b² 和 2ab，想到 (a ± b)²。
2. 相乘次數相加，相加次數取最大。
3. 被除式 ＝ 除式 × 商式 ＋ 餘式；餘式次數小於除式。
4. 長除法每一步都在消掉最高次項。
5. 個位數 5 的平方：十位數 × (十位數 ＋ 1)，接 25。
6. 估算根號、解根號不等式：兩邊（三邊）同時平方。
7. 比大小先找相同部分抵消。
8. √(a²) ＝ |a|；絕對值裡是負數就前後對調。